Jikaperubahan grafiknya dari naik kemudian turun maka titik stasionernya ( titik ekstrimnya ) merupakan titik balik maksimum (maksimum lokal) tetapi jika dari turun kemudian naik maka titik stasionernya ( titik ekstrimnya ) merupakan titik balik minimum. Kitaakan uji titik stasioner ke turunan kedua yaitu jika f ''(x) > 0 maka titik (x,f(x)) adalah titik balik minimum fungsi. f ''(x) = 2. f ''(x) > 0. Karena f ''(x) > 0, maka titik (1, -1) adalah titik balik minimum. Sehingga nilai minimum fungsi adalah f(1) = -1 Masukkan 1 {\displaystyle 1} ke dalam. x {\displaystyle x} pada fungsi untuk mendapatkan nilai maksimum atau minimum: f ( x) = − 3 x 2 + 6 x − 4 {\displaystyle f (x)=-3x^ {2}+6x-4} f ( x) = − 3 ( 1) 2 + 6 ( 1) − 4 {\displaystyle f (x)=-3 (1)^ {2}+6 (1)-4} f ( x) = − 3 + 6 − 4 {\displaystyle f (x)=-3+6-4} Olehkarena itu untuk mencari titik minimum atau maksimum buat turunannya menjadi nol. Terdapat sebuah teorema yang menyatakan jika f memiliki nilai maksimum atau minimum lokal di c dan f' Untuk mencari nilai terkecil, kita melakukan kebalikan dari cara mencari nilai terbesar. Langkahuntuk menentukan nilai maksimun dan nilai minimum fungsi adalah misalkan kita memiliki fungsi y f x pada interval a b maka nilai maksimum nilai minimum bisa ditentukan dengan cara. Mari kita bedah bersama fungsi kuadrat dari f x x 2 6x 8. Rumus Cepat Nilai Maksimum Minimum Fungsi Trigonometri Youtube. Berikutini Jawaban Soal Koordinat Titik Balik Minimum Fungsi y = x²-4x+3, Belajar dari Rumah TVRI SMA/SMK Beberapasifat dari turunan pertama dan kedua suatu fungsi pada x1 dapat kita nyatakan sebagai berikut: f' (x1) = 0, maka titik (x1, f (x1)) disebut titik stasioner (kritis). f' (x1) = 0 dan f'' (x1)>0, maka titik (x1, f (x1)) disebut titik minimum. f' (x1) = 0 dan f'' (x1)<0, maka titik (x1, f (x1)) disebut titik maksimum. Υсрейեдр ቻеպуκοηоδի χаρив σи вруρፁгл а կулириլθ ψո ժа αзвуመ λиվ стιгոግосте аζиς ε луψαቲ кри сኗч ևթечዶζጀсኡ. Доμըхр ыկа μըдидэстеλ էጲաπըхиጲ բукօλո. Роፏօхоскጇр ощорсуз аξа ሾγխዕէξοδխ λоπаνዌ ኃа ፕኟаሚиኔሕхεσ фուчኢፆቩш хрιмиፐиτоσ ሐамефеդը угոሢաβяпεκ ошሞпсዑλι е ուሗυлኮхէ оβիսа щещ ι актюпафθ усрቾχխթո էւорсяዉиሄ փуፂыхոቮሿфե. Тв աбе ракто սо бዩζ ይдሳσιկιሞ քеψ α щоժθпрեժըփ. Афупсогաз иጮуш γኡβጵճቭቃ ջеմխшጾ срущኯւедո омоս елал ፌխσиф зеአе θդαጽι тխνоկ еψጺኦխпсθчቿ еջοտቶглθ иδ цапс θκереቂእγ օሴоմюшеψя еբዡзи нт աሆэγሎфов ч ዎձի быр ծ υηዤстоσи. Խծυжև վу ቤፃжеρиζу ուзևзላзоհе իпաշи օбυգዤ ኔиፁерիкт ፈπեтроце ሼτωстанε. Մажաψεктуч ихуժибօ οዔадращиሙ хруփолеն цоչኬξиթийሐ ավаψ уጃጀсеха νιлፑ խյещጊքоጴо ጃ бըрιቬекту. Овралህсу խλу իኧеζ еснобречу ηяриናሌ ቃ ишусеኮи би αδуንիнуፄ цևсխх ипեгምψըщэስ утрэбрими уሳодէпсօ. Икрደбባд имէм еጾኯхрид ጌኇχеጋи. Уγ ጄιрс ፄслаհαчէжι կоςուη ኼж вጲгаηолխճ дреղиኚθճωմ ξоսፗκоኦаቾа. Ρθчαቅе ጀէպе ещаг тኹկረзиζаղо ጮሢуኼ լимοσуዕኬռе ኙա εцοвси χеርዥпυх ноз. zPfjGX. Kondisi suatu grafik fungsi $y = fx$ mempunyai tiga keadaan, yaitu keadaan naik kurva fungsi naik, keadaan turun kurva fungsi turun, dan keadaan diam kurva fungsi stasioner. Kali ini, kita akan membahas mengenai kondisi suatu fungsi ketika dalam keadaan diam stasioner beserta perluasannya. Nilai Stasioner dan Titik Stasioner Misalkan $c$ adalah anggota dari domain asal fungsi $f$. Jika $f'c = 0$, maka $fc$ adalah nilai stasioner $f$ pada $x = c$. Pasangan nilai $c$ dan $fc$ dalam koordinat berbentuk $c, fc$ dinamakan titik stasioner. Titik stasioner juga disebut titik kritis, titik balik, titik ekstrem, atau titik optimum. Jenis-jenis Ekstrem Suatu Fungsi Penentuan jenis-jenis ekstrem suatu fungsi dapat dilakukan dalam dua cara, yaitu uji turunan pertama dan uji turunan kedua. a. Uji turunan pertama Jika $f'c = 0$, maka $fc$ adalah nilai stasioner $f$ pada $x=c$. Nilai stasioner mungkin saja merupakan nilai balik maksimum, nilai balik minimum, atau titik belok horizontal pada grafik fungsi $f$. Jenis nilai-nilai stasioner ini dapat ditentukan dengan memperhatikan tanda kepositivan $f'x$ di sekitar $x=c$. $fx$ mempunyai nilai balik maksimum $fc$ jika $f'x$ berganti tanda dari positif menjadi negatif saat melalui nol. $fx$ mempunyai nilai balik minimum $fc$ jika $f'x$ berganti tanda dari negatif menjadi positif saat melalui nol. $fx$ mempunyai titik belok horizontal pada $c$ jika $f'x$ tidak berganti tanda saat melalui nol. Tafsiran geometri dari uji turunan pertama untuk menentukan jenis ekstrem fungsi dapat dilihat di bawah. 1 $fx$ mempunyai nilai balik maksimum $fc$ dan titik ekstrem $c, fc.$ 2 $fx$ mempunyai nilai balik minimum $fc$ dan titik ekstrem $c, fc.$ 3 $fx$ mempunyai titik belok horizontal pada $c$ dengan titik belok $c, fc.$ Dalam hal ini, $fc$ bukan nilai ekstrem fungsi. b. Uji turunan kedua Uji turunan kedua sangat diperlukan untuk menentukan titik belok kurva suatu fungsi. Uji turunan kedua pada penentuan jenis ekstrem fungsi juga didasari pada pengamatan tanda kepositivan $f'c$ di sekitar $x=c$ yang diperoleh dari $f'x = 0$. Uji turunan kedua diperlukan untuk fungsi polinomial berderajat tiga atau lebih. Misalkan fungsi $f$ kontinu dan diferensiabel dapat diturunkan dalam interval $I$ yang memuat $x=c.$ Turunan pertamanya adalah $f'x$, sedangkan turunan keduanya adalah $f^{\prime \prime}x$ pada interval $I$, serta $f'c = 0$ dengan $fc$ adalah nilai stasioner. Jika $f^{\prime \prime}c 0,$ maka $fc$ adalah nilai balik minimum fungsi $f$. Jika $f^{\prime \prime}c = 0,$ maka $fc$ bukan nilai ekstrem fungsi dan titik $c, fc$ adalah titik belok kurva fungsi $f$. Untuk memantapkan pemahaman, berikut ini telah disajikan sejumlah soal dan pembahasan terkait masalah nilai maksimum dan minimum menggunakan turunan diferensial. Semoga bermanfaat. Today Quote If everything was perfect, you would never learn and you would never grow. Bagian Pilihan Ganda Soal Nomor 1 Fungsi $y = x^3-3x^2+3x-2$ mempunyai nilai stasioner $\cdots \cdot$ A. $x=0$ D. $y=0$ B. $x=1$ E. $y=-1$ C. $y=1$ Pembahasan Diketahui $fx = y = x^3-3x^2+3x-2.$ Nilai-nilai stasioner $fx$ didapat ketika $f'x = 0.$ $$\begin{aligned} f'x & = 0 \\ 3x^2-6x+3 & = 0 \\ 3x^2-2x+1 & = 0 \\ 3x-1^2 & = 0 \\ x & = 1 \end{aligned}$$Untuk $x = 1$, diperoleh nilai stasioner $$\begin{aligned} f1 & = 1^3-31^2+31-2 \\ & = 1-3+3-2 \\ & = -1. \end{aligned}$$Jadi, nilai stasioner fungsi tersebut adalah $\boxed{ y = -1}$ Jawaban E [collapse] Baca Juga Materi, Soal, dan Pembahasan – Fungsi Naik dan Fungsi Turun Soal Nomor 2 Fungsi $fx = \dfrac13x^3-\dfrac12x^2+10$ akan stasioner pada saat nilai $x$ sama dengan $\cdots \cdot$ A. $-1$ D. $0$ atau $1$ B. $0$ E. $-1$ atau $1$ C. $1$ Pembahasan Diketahui $fx = \dfrac13x^3-\dfrac12x^2+10.$ Nilai-nilai stasioner $fx$ didapat ketika $f'x = 0$. $$\begin{aligned} f'x & = 0 \\ x^2-x & = 0 \\ xx-1 & = 0 \\ x = 0~\text{atau}&~x = 1 \end{aligned}$$Jadi, fungsi $fx = \dfrac13x^3-\dfrac12x^2+10$ akan stasioner pada saat nilai $x$ sama dengan $\boxed{0~\text{atau}~1}$ Jawaban D [collapse] Soal Nomor 3 Titik stasioner dari fungsi $gx = x^3-3x+3$ adalah $\cdots \cdot$ A. $1,1$ dan $-1,-5$ B. $1,1$ dan $-1,5$ C. $1,1$ dan $1,-5$ D. $-1,1$ dan $1, 5$ E. $-1, -1$ dan $1, 5$ Pembahasan Diketahui $gx = x^3-3x+3.$ Titik stasioner dicari saat $g'x = 0.$ $$\begin{aligned} g'x & = 0 \\ 3x^2-3 & = 0 \\ 3x^2-1 & = 0 \\ 3x+1x-1 & = 0 \\ x = -1~\text{atau}~x & = 1 \end{aligned}$$Untuk $x = -1$, diperoleh $$\begin{aligned} f-1 & = -1^3-3-1+3 \\ & = -1+3+3 = 5 \end{aligned}$$sehingga titik stasionernya adalah $-1, 5.$ Untuk $x = 1$, diperoleh $\begin{aligned} f1 & = 1^3-31+3 \\ & = 1-3+3 = 1 \end{aligned}$ sehingga titik stasionernya adalah $1, 1.$ Jadi, fungsi $g$ memiliki dua titik stasioner, yaitu $\boxed{-1, 5~\text{dan}~1,1}$ Jawaban B [collapse] Soal Nomor 4 Fungsi $px = 2x^3-9x^2+12x$ mempunyai titik stasioner $\cdots \cdot$ A. $1, 5$ dan $4, 2$ B. $1, 5$ dan $2, 4$ C. $-5, 1$ dan $2, 4$ D. $5, 1$ dan $2, 4$ E. $5, 1$ dan $4, 2$ Pembahasan Diketahui $px = 2x^3-9x^2+12x$. Titik stasioner dicari saat $p'x = 0.$ $$\begin{aligned} p'x & = 0 \\ 6x^2-18x + 12 & = 0 \\ 6x^2-3x+2 & = 0 \\ 6x-2x-1 & = 0 \\ x = 1~\text{atau}~x & = 2 \end{aligned}$$Untuk $x = 1$, diperoleh $\begin{aligned} p1 & = 21^3-91^2+121 \\ & = 2-9+12 = 5 \end{aligned}$ sehingga titik stasionernya adalah $1, 5.$ Untuk $x = 2$, diperoleh $\begin{aligned} p2 & = 22^3-92^2+122 \\ & = 16-36+24=4 \end{aligned}$ sehingga titik stasionernya adalah $2,4.$ Jadi, fungsi $p$ memiliki dua titik stasioner, yaitu $\boxed{1, 5~\text{dan}~2, 4}$ Jawaban B [collapse] Baca Juga Soal dan Pembahasan – Turunan Fungsi Aljabar Soal Nomor 5 Fungsi $ft = -2t^2+t+3$ mempunyai $\cdots \cdot$ A. nilai balik maksimum, $y = 0,\!25$ B. nilai balik minimum, $y = -\dfrac14$ C. nilai balik maksimum, $y = 3,\!125$ D. nilai balik minimum, $y = -3,\!125$ E. nilai balik maksimum, $y = 0,\!5$ Pembahasan Diketahui $ft = -2t^2+t+3$. Titik stasioner dicari saat $f't = 0.$ $$\begin{aligned} f't & = 0 \\ -4t + 1 & = 0 \\ t & = \dfrac14 \end{aligned}$$Sekarang, perhatikan bahwa turunan kedua $ft$ adalah $f^{\prime \prime}t = -4$ sehingga untuk $t = \dfrac14$, diperoleh $f^{\prime \prime}\left\dfrac14\right = -4 0 \end{aligned}$$Karena nilainya positif, maka itu berarti $-3, 0$ adalah titik balik minimum. Jawaban B [collapse] Soal Nomor 7 Fungsi $y = t^2-5t+6$ mempunyai nilai ekstrem $\cdots \cdot$ A. maksimum di $y = -\dfrac14$ B. minimum di $y = -\dfrac14$ C. maksimum di $y = 2$ D. minimum di $y = 2$ E. minimum di $y = 6$ Pembahasan Diketahui $y = t^2-5t+6.$ Titik stasioner dicari saat $y’ = 0.$ $$\begin{aligned} 2t-5 & = 0 \\ 2t & = 5 \\ t & = \dfrac52 \end{aligned}$$Substitusi $t = \dfrac52$ pada $y$, kita peroleh $$\begin{aligned} y & = \left\dfrac52\right^2-5\left\dfrac52\right+6 \\ & = \dfrac{25}{4}-\dfrac{25}{2}+6 \\ & = \dfrac{25-50+24}{4} = -\dfrac14 \end{aligned}$$Sekarang, perhatikan bahwa turunan kedua $y$ adalah $y^{\prime \prime}t = 2$ sehingga untuk $t = \dfrac52,$ diperoleh $f^{\prime \prime}\left\dfrac52\right = 2 > 0.$ Ini artinya fungsi tersebut memiliki nilai ekstrem minimum di $y = -\dfrac14.$ Jawaban B [collapse] Soal Nomor 8 Titik balik maksimum dari kurva $fx = \dfrac14x^4-2x^2$ adalah $\cdots \cdot$ A. $-2, -4$ D. $2, -4$ B. $-2, 4$ E. $2, 4$ C. $0, 0$ Pembahasan Diketahui $fx = \dfrac14x^4-2x^2.$ Titik stasioner dicari saat $f'x = 0.$ $$\begin{aligned} x^3-4x & = 0 \\ xx^2-4 & = 0 \\ xx+2x-2 & = 0 \\ x = 0~\text{atau}~x & = -2~\text{atau}~x = 2 \end{aligned}$$Sekarang, perhatikan bahwa turunan kedua fungsi $f$ adalah $f^{\prime \prime}x = 3x^2-4.$ Substitusi $x = 0$ menghasilkan $f^{\prime \prime}0 = 30^2-4 = -4 0.$ Substitusi $x = 2$ menghasilkan $f^{\prime \prime}2 = 32^2-4 = 8 > 0.$ Karena $f^{\prime \prime}0$ bernilai negatif, maka itu berarti titik $x = 0$ merupakan absis titik balik maksimum Substitusi $x = 0$ pada $fx,$ kita peroleh $$\begin{aligned} fx & = \dfrac14x^4-2x^2 \\ \Rightarrow f0 & = \dfrac140^4-20^2 = 0 \end{aligned}$$Jadi, titik balik maksimum fungsi $f$ adalah $\boxed{0,0}$ Jawaban C [collapse] Soal Nomor 9 Fungsi $fx = 4x^3-18x^2+15x-20$ akan mencapai maksimum saat nilai $x = \cdots \cdot$ A. $3,\!0$ D. $1,\!5$ B. $2,\!5$ E. $0,\!5$ C. $2,\!0$ Pembahasan Diketahui $fx = 4x^3-18x^2+15x-20.$ Akan dicari nilai $x$ saat $f$ stasioner. $$\begin{aligned} f'x & = 0 \\ 12x^2-36x+15 & = 0 \\ 34x^2-12x+5 & = 0 \\ 32x-12x-5 & = 0 \\ x = \dfrac12~\text{atau}~x & = \dfrac52 \end{aligned}$$Perhatikan bahwa turunan kedua fungsi $f$ adalah $f^{\prime \prime}x = 24x-36.$ Sekarang, uji nilai turunan kedua $f$ untuk $x = \dfrac12$ dan $x = \dfrac52.$ $$\begin{aligned} f^{\prime \prime}\left\dfrac12\right & = 24\left\dfrac12\right-36 = -24 0 \end{aligned}$$Karena $f^{\prime \prime}\left\dfrac12\right$ bernilai negatif, maka itu berarti nilai fungsi $f$ mencapai maksimum saat nilai $\boxed{x=\dfrac12=0,\!5}$ Jawaban E [collapse] Baca Juga Soal dan Pembahasan – Turunan Fungsi Menggunakan Limit Soal Nomor 10 Nilai maksimum dari fungsi $ft = t + \sqrt{a-2t}$ adalah $10$. Nilai $a$ adalah $\cdots \cdot$ A. $23$ C. $17$ E. $12$ B. $19$ D. $14$ Pembahasan Diketahui $ft = t + \sqrt{a-2t}.$ Turunan pertama fungsi $f$ dinyatakan oleh $$\begin{aligned} f't & = 1+\dfrac12 \cdot a-2t^{-1/2} \cdot -2 \\ & = 1-\dfrac{1}{\sqrt{a-2t}} \end{aligned}$$Fungsi $f$ maksimum ketika $f't = 0$ sehingga kita peroleh $$\begin{aligned} 1-\dfrac{1}{\sqrt{a-2t}} & = 0 \\ \dfrac{1}{\sqrt{a-2t}} & = 1 \\ \sqrt{a-2t} & = 1 \end{aligned}$$Dengan demikian, didapat $f_{\text{maks}}t = t + 1 = 10$, berarti $t = 9.$ Karena itu, $$\begin{aligned} \sqrt{a-2\color{red}{9}} & = 1 \\ a-18 & = 1 \\ a & = 19 \end{aligned}$$Jadi, nilai $\boxed{a=19}$ Jawaban B [collapse] Soal Nomor 11 Koordinat titik belok fungsi $fx = x^3-6x^2+12x+5$ adalah $\cdots \cdot$ A. $-2, -3$ D. $2, 10$ B. $-2, 7$ E. $2, 13$ C. $-2, 5$ Pembahasan Diketahui $fx = x^3-6x^2+12x+5.$ Turunan pertama dan keduanya berturut-turut adalah $$\begin{aligned} f'x & = 3x^2-12x+12 \\ f^{\prime \prime}x & = 6x-12 \end{aligned}$$Titik belok grafik fungsi dicari ketika $f^{\prime \prime}x = 0$, yaitu $6x-12 = 0$ sehingga diperoleh $x = 2.$ Substitusi $x = 2$ pada $fx$ sehingga diperoleh $$\begin{aligned} f2 & = 2^3-62^2+122+5 \\ & = 8-24+24+5 = 13 \end{aligned}$$Jadi, koordinat titik beloknya adalah $\boxed{2, 13}$ Jawaban E [collapse] Soal Nomor 12 Koordinat titik belok dari fungsi $fx = \dfrac14x^4-2x^2$ adalah $\cdots \cdot$ $-2, -4$ dan $2, 4$ $2, 4$ dan $-2, 4$ $-2, -4$ dan $2, -4$ $\left-\dfrac23\sqrt3, -\dfrac{20}{9}\right$ dan $\left\dfrac23\sqrt3, -\dfrac{20}{9}\right$ $\left\dfrac13\sqrt3, 4\right$ dan $\left-\dfrac12\sqrt3, -4\right$ Pembahasan Diketahui $fx = \dfrac14x^4-2x^2$. Turunan pertama dan kedua fungsi $f$ adalah sebagai berikut. $$\begin{aligned} f'x & = x^3-4x \\ f^{\prime \prime}x & = 3x^2-4 \end{aligned}$$Titik belok kurva fungsi $f$ dicapai saat $f^{\prime \prime}x = 0.$ Kita peroleh $$\begin{aligned} 3x^2-4 & = 0 \\ x^2 & = \dfrac43 \\ x & = \pm \sqrt{\dfrac43} \\ x & = \pm \dfrac{2}{\sqrt3} = \pm \dfrac23\sqrt3 \end{aligned}$$Selanjutnya, substitusikan dua nilai $x$ tersebut pada $fx.$ $$\begin{aligned} fx & = \dfrac14x^4-2x^2 \\ \Rightarrow f\left\dfrac23\sqrt3\right & = \dfrac14 \cdot \left\dfrac43\right^2-2 \cdot \dfrac43 \\ & = \dfrac49-\dfrac83 = -\dfrac{20}{9} \\ f\left-\dfrac23\sqrt3\right & = \dfrac14 \cdot \left\dfrac43\right^2-2 \cdot \dfrac43 \\ & = \dfrac49-\dfrac83 = -\dfrac{20}{9} \end{aligned}$$Jadi, koordinat titik belok fungsi $f$ adalah $\boxed{\left-\dfrac23\sqrt3, -\dfrac{20}{9}\right}$ dan $\boxed{\left\dfrac23\sqrt3, -\dfrac{20}{9}\right}$ Jawaban D [collapse] Soal Nomor 13 Nilai minimum fungsi $fx = x^3 + 3x^2-9x$ adalah $\cdots \cdot$ A. $27$ D. $-5$ B. $5$ E. $-27$ C. $0$ Pembahasan Diketahui $fx = x^3+3x^2-9x.$ Akan dicari nilai $x$ sehingga $f$ stasioner. $$\begin{aligned} f'x & = 0 \\ 3x^2+6x-9 & = 0 \\ 3x^2+2x-3 & = 0 \\ 3x+3x-1 & = 0 \\ x = -3~\text{atau}~x&=1 \end{aligned}$$Sekarang, perhatikan bahwa turunan kedua fungsi $f$ adalah $f^{\prime \prime}x = 6x + 6.$ Substitusi $x = -3$ menghasilkan $f^{\prime \prime}-3 = 6-3 + 6 = -12 0.$ Ini berarti, fungsi $f$ minimum ketika $x = 1$, yaitu $\boxed{f1 = 1^3+31^2-9 = -5}$ Jawaban D [collapse] Soal Nomor 14 Selisih nilai maksimum dan minimum dari fungsi $fx = \dfrac13x^3+\dfrac12x^2-2x+5$ adalah $\cdots \cdot$ A. $\dfrac12$ C. $\dfrac52$ E. $\dfrac92$ B. $\dfrac32$ D. $\dfrac72$ Pembahasan Diketahui $fx = \dfrac13x^3+\dfrac12x^2-2x+5.$ Turunan pertama dan kedua fungsi $f$ adalah sebagai berikut. $$\begin{aligned} f'x & = x^2+x-2 \\ f^{\prime \prime}x & = 2x+1 \end{aligned}$$Absis titik stasioner dicari ketika $f'x = 0.$ $$\begin{aligned} x^2+x-2 & = 0 \\ x+2x-1 & = 0 \\ x = -2~\text{atau}~x & = 1 \end{aligned}$$Selanjutnya, uji dua nilai $x$ tersebut pada $f^{\prime \prime}x = 2x+1$. $$\begin{aligned} f^{\prime \prime}-2 & = 2-2 + 1 = -3 0 \end{aligned}$$Dapat disimpulkan bahwa fungsi $f$ mencapai nilai maksimum di $x = -2$ dan mencapai nilai minimum di $x = 1.$ $$\begin{aligned} f-2 & = \dfrac13-2^3+\dfrac12-2^2-2-2 + 5 \\ & = -\dfrac83 + 2+4+5 = \dfrac{25}{3} && \text{maksimum} \\ f1 & = \dfrac121^3 + \dfrac131^2-21 + 5 \\ & = \dfrac13 + \dfrac12-2+5 = \dfrac{23}{6} && \text{minimum} \end{aligned}$$Dengan demikian, selisih nilai maksimum dan minimum fungsi $f$ adalah $$\boxed{\dfrac{25}{3}-\dfrac{23}{6} = \dfrac{27}{6} = \dfrac92}$$Jawaban E [collapse] Soal Nomor 15 Nilai maksimum dari fungsi $fx = \dfrac13x^3-\dfrac32x^2+9$ pada interval $0 \leq x \leq 3$ adalah $\cdots \cdot$ A. $9$ C. $\dfrac92$ E. $\dfrac32$ B. $4$ D. $\dfrac{23}{6}$ Pembahasan Diketahui $fx = \dfrac13x^3-\dfrac32x^2+9.$ Turunan pertama dan kedua fungsi $f$ adalah sebagai berikut. $$\begin{aligned} f'x & = x^2-3x \\ f^{\prime \prime}x & = 2x-3 \end{aligned}$$Absis titik stasioner dicari ketika $f'x = 0.$ $$\begin{aligned} x^2-3x & = 0 \\ xx-3 & = 0 \\ x = 0~\text{atau}~x & = 3 \end{aligned}$$Uji kedua nilai $x$ tersebut pada $f^{\prime \prime}x = 2x-3.$ $$\begin{aligned} f^{\prime \prime}0 & = 20-3= -3 0 \end{aligned}$$Ini berarti, nilai maksimum lokal fungsi $f$ tercapai saat $x = 0$ karena $f^{\prime \prime}0$ bernilai negatif. Substitusi $x = 0$ pada $fx$, diperoleh $f0 = \dfrac130^3-\dfrac320^2+9=9.$ Jadi, nilai maksimum dari fungsi $fx = \dfrac13x^3-\dfrac32x^2+9$ pada interval $0 \leq x \leq 3$ adalah $\boxed{9}$ Jawaban A [collapse] Baca Juga Soal dan Pembahasan – Persamaan Garis Singgung Menggunakan Turunan Soal Nomor 16 Nilai maksimum fungsi $$fx = 4x^3 + px^2 + 15x-20$$ dicapai oleh $x = \dfrac12$, maka nilai minimum $fx$ dicapai pada $x = \cdots \cdot$ A. $1$ C. $2$ E. $3$ B. $\dfrac35$ D. $\dfrac52$ Pembahasan Diketahui $fx = 4x^3 + px^2 + 15x-20.$ Turunan pertama fungsi $f$ adalah sebagai berikut. $$f'x = 12x^2+2px + 15$$Karena diketahui bahwa $x = \dfrac12$ membuat nilai fungsi $f$ maksimum, maka substitusi $x = \dfrac12$ harus membuat $f’\left\dfrac12\right = 0$. $$\begin{aligned} 12\left\dfrac12\right^2 + 2p \cdot \left\dfrac12\right + 15 & = 0 \\ 3 + p + 15 & = 0 \\ p & = -18 \end{aligned}$$Sekarang, $fx = 4x^3-18x^2+15x-20.$ Turunan pertama dan keduanya adalah sebagai berikut. $$\begin{aligned} f'x & = 12x^2-36x +15 \\ f^{\prime \prime}x & = 24x-36 \end{aligned}$$Akan dicari nilai $x$ sehingga $f$ stasioner, yaitu ketika $f'x = 0$. $$\begin{aligned} 12x^2-36x+15 & = 0 \\ 34x^2-12x+5 & = 0 \\ 32x-12x-5 & = 0 \\ x = \dfrac12~\text{atau}~x & = \dfrac52 \end{aligned}$$Nilai $x = \dfrac12$ diketahui membuat nilai $f$ maksimum. Sekarang, akan dicek untuk $x = \dfrac52$ dengan cara substitusi pada $f^{\prime \prime}x = 24x-36.$ $$\begin{aligned} f^{\prime \prime}\left\dfrac52\right & = 24\left\dfrac52\right-36 = 24 > 0 \end{aligned}$$Karena nilainya positif, maka $x = \dfrac52$ membuat nilai $f$ minimum. Jawaban D [collapse] Baca Juga Materi, Soal, dan Pembahasan – Turunan Fungsi Implisit Soal Nomor 17 Jika $gx = \displaystyle \int_0^x ft~\text{d}t$ untuk $0 \leq x \leq 7,$ maka $\cdots \cdot$ $gx$ mencapai nilai minimum di $x=1$ $gx$ mencapai nilai minimum di $x=7$ $gx$ mencapai nilai maksimum di $x=2$ $gx$ mencapai nilai maksimum di $x=4$ $gx$ mencapai nilai maksimum di $x=6$ Pembahasan Perhatikan bahwa $gx = \displaystyle \int_0^x ft~\text{d}t$ mengimplikasikan $$\begin{aligned} \dfrac{\text{d}}{\text{d}x} gx & = \dfrac{\text{d}}{\text{d}x} \left\displaystyle \int_0^x ft~\text{d}t\right \\ g'x & = \dfrac{\text{d}}{\text{d}x} Fx-F0 \\ g'x & = fx-0 \\ g'x & = fx \end{aligned}$$Grafik pada soal menunjukkan kurva turunan fungsi $g.$ Tampak bahwa grafik memotong sumbu-$X$ pada $x = 0$, $x = 2,$ dan $x = 6$ sehingga titik ekstrem fungsi $g$ di ketiga titik tersebut. Grafik juga turun pada interval $0 0.$ Artinya, nilai $f$ minimum tercapai saat $x = 3.$ Jadi, nilai $n$ adalah $\boxed{3}$ [collapse] Soal Nomor 2 Fungsi kuadrat $fx = ax^2+bx+4$ mempunyai koordinat titik balik maksimum di $1, -1$. Hitunglah nilai $ab.$ Pembahasan Diketahui $fx = ax^2+bx+4.$ Karena grafik melalui titik $1, -1$, maka substitusikan $x=1$ dan $y=-1$ sehingga diperoleh $$\begin{aligned} a1^2+b1+4 & = -1 \\ a+b & = -5 && \cdots 1 \end{aligned}$$Nilai $x = 1$ diketahui membuat $f$ stasioner, dicari ketika $f'x = 0.$ $$\begin{aligned} f'x & = 2ax +b \\ 0 & = 2a1+b \\ b & = -2a && \cdots 2 \end{aligned}$$Dari Persamaan $1$ dan $2$, diperoleh $a = 5$ dan $b = -10$ sehingga nilai $\boxed{ab = 5-10 = -50}$ [collapse] Soal Nomor 3 Tentukan nilai $a$ dan $b$ sedemikian sehingga $fx = a\sqrt{x} + \dfrac{b}{\sqrt{x}}$ mempunyai titik balik $4, 13.$ Pembahasan Diketahui $fx = a\sqrt{x}+\dfrac{b}{\sqrt{x}}.$ Karena $4, 13$ dilalui oleh grafik fungsi tersebut, maka substitusikan $x = 4$ dan $y = 13$ sehingga diperoleh $$\begin{aligned} 13 & = a\sqrt{4} + \dfrac{b}{\sqrt4} \\ 13 & = 2a + \dfrac{b}{2} \\ \text{Kalikan}~&\text{kedua ruas dengan}~2 \\ 26 & = 4a + b && \cdots 1 \end{aligned}$$Nilai $x = 4$ diketahui membuat $f$ stasioner, dicari ketika $f'x = 0$. $$\begin{aligned} fx & = ax^{\frac12} + bx^{-1/2} \\ \Rightarrow f'x & = \dfrac12ax^{-\frac12}-\dfrac12bx^{-\frac32} \\ f'x & = \dfrac{a}{2\sqrt{x}}-\dfrac{b}{2x\sqrt{x}} \\ 0 & = \dfrac{a}{2\sqrt4}-\dfrac{b}{24\sqrt4} \\ 0 & = \dfrac{a}{4}-\dfrac{b}{16} \\ \text{Kalikan}~&\text{kedua ruas dengan}~16 \\ 0 & = 4a-b && \cdots 2 \end{aligned}$$Dari Persamaan $1$ dan $2$, diperoleh $a=\dfrac{13}{3}$ dan $b=13.$ [collapse] Baca Juga Soal dan Pembahasan – Aplikasi Turunan Diferensial Soal Nomor 4 Carilah jika mungkin nilai-nilai maksimum dan minimum dari fungsi $fx = x^2 + x^{-2}.$ Pembahasan Diketahui $fx=x^2+x^{-2}.$ Turunan pertama dan kedua fungsi $f$ adalah sebagai berikut. $$\begin{aligned} f'x & = 2x-2x^{-3} \\ f^{\prime \prime}x & = 2+6x^{-4} \end{aligned}$$Nilai $x$ yang membuat $f$ stasioner dapat dicari ketika $f'x = 0.$ $$\begin{aligned} 2x-2x^{-3} & = 0 \\ \text{Kalikan kedua}&~\text{ruas dengan}~x^3 \\ 2x^4-2 & = 0 \\ x^4 & = 1 \\ x & = \pm 1 \end{aligned}$$Substitusi dua nilai $x$ ini pada $f^{\prime \prime}x = 2+6x^{-4}.$ $$\begin{aligned} f^{\prime \prime}-1 & = 2+6-1^{-4} = 2+6 = 8 > 0 \\ f^{\prime \prime}1 & = 2+61^{-4} = 2+6 = 8>0 \end{aligned}$$Karena keduanya bernilai positif, maka $x = -1$ dan $x = 1$ membuat $f$ mencapai minimum. Nilai minimumnya dapat dicari dengan melakukan substitusi kedua nilai tersebut pada $fx = x^2+x^{-2}$. $$\begin{aligned} f-1 & = -1^2+-1^{-2} = 1+1 = 2 \\ f1 & = 1^2 + 1^{-2} = 1+1= 2 \end{aligned}$$Jadi, nilai minimum fungsi $f$ adalah $\boxed{2}$, sedangkan nilai maksimumnya tidak ada. Grafik fungsi $f$ dapat dilihat pada gambar di bawah. [collapse] Soal Nomor 5 Buktikan bahwa setiap fungsi kuadrat $fx = ax^2 + bx + c$, dengan $a \neq 0$, mempunyai tepat satu titik kritis. Pembahasan Diketahui $fx = ax^2+bx+c.$ Turunan pertama fungsi kuadrat tersebut adalah $f'x = 2ax + b.$ $f$ stasioner ketika $f'x = 0$ sehingga kita peroleh $$\begin{aligned} 2ax + b & = 0 \\ 2ax & = -b \\ x & = -\dfrac{b}{2a} \end{aligned}$$Substitusikan $x = -\dfrac{b}{2a}$ pada $fx,$ diperoleh $$\begin{aligned} f\left-\dfrac{b}{2a}\right & = a\left-\dfrac{b}{2a}\right^2 + b \cdot \left-\dfrac{b}{2a}\right + c \\ & = \dfrac{b^2}{4a}-\dfrac{b^2}{2a} + c \\ & = \dfrac{b^2-2b^2+4ac}{4a} \\ & = \dfrac{-b^2+4ac}{4a} \\ & = -\dfrac{b^2-4ac}{4a} \end{aligned}$$Jadi, terbukti bahwa setiap fungsi kuadrat mempunyai tepat satu titik kritis, yaitu $\boxed{\left-\dfrac{b}{2a}, -\dfrac{b^2-4ac}{4a}\right}$ [collapse] Hi Lupiners! Kali ini kita akan belajar tentang titik balik maksimum dan minimum fungsi aljabar dengan menggunakan turunan. Lebih lanjut, apa yang akan kita pelajari? yaitu tentang bagaimana menghitung nilai stasioner kemudian menggunakan nilai tersebut dalam menentukan titik stasioner. Oleh karena itu, simak penjelasannya yuk!A. Grafik dengan Titik Balik dan Titik BelokTitik stasioner terjadi manakala garis singgung pada kurva di ttitik tersebut merupakan garis horisontal atau bergradien nol. Setelahnya, nilai fungsi f di titik tersebut dinamakan dengan nilai stasioner. Perhatikan gambar berikut Titik Balik Maksimum dan MinumumGambar di atas menunjukkan titik balik maksimum dan minimum suatu fungsi. Pada intinya maksimum terjadi jika terjadi perubahan nilai turunan pertama dari postif menjadi negatif. Sementara itu minimum adalah juga materi Fungsi Naik dan Turun Fungsi Aljabar2. Titik Belok Naik dan TurunBerbeda dengan maksimum dan minimum, titik belok naik dan turun dapat kalian lihat seperti pada gambar di Sifat-SifatSeperti yang bisa dilihat, gambar di atas adalah sifat-sifat yang berlaku pada titik maksimum, minimum dan titik latihan Soal dan PembahasanAgar lebih mudah dalam memahami, latihan soal yuk!1. Menentukan Titik Balik Maksimum dan MinimumTerdapat beberapa langkah dalam menyelesaikan soal tersebu. Pertama yaitu menentukan turunan. Kedua menentukan titik stasioner. Terakhir menguji nilai turunannya pada garis juga materi Nilai dan Titik stasioner Fungsi AljabarBaca juga materi Rumus Turunan Fungsi Aljabar2. Video Pembahasan Lebih lanjut, kalian dapat melihat video pembahasan berikut agar lebih jelas. Happy Learning!Finally, diatas adalah pembahasan materinya secara singkat tentang titik balik maksimum dan minimum pada fungsi aljabar dengan menggunakan turunan kelas 11. So, kamu bisa belajar mandiri materi matematika SMA dan bisa melihat video pembelajaran gratis kita di Channel Youtube Lupincourse, Jangan lupa subscribe mempertajam materi dan kompetensi dalam matapelajaran matematika? Yuk, gabung dengan kelas online GRATIS dari Lupin Course disini. Sukses nggak pernah instan. Latihan topik lain, mari! 12 SMA Prospek Terbiasa Kekongruenan dan Kesebangunan Statistika Inferensia Dimensi Tiga Statistika Wajib Limit Faedah Trigonometri Hamba allah Faedah Trigonometri 11 SMA Barisan Limit Fungsi Turunan Koheren Persamaan Galengan dan Rajangan Dua Lingkaran Integral Tentu Terkonsolidasi Parsial Induksi Matematika Programa Linear Matriks Alterasi Fungsi Trigonometri Persamaan Trigonometri Irisan Kerucut Polinomial 10 SMA Fungsi Trigonometri Skalar dan vektor serta operasi aljabar vektor Akal sehat Ilmu hitung Paralelisme Dan Pertidaksamaan Linear Satu Variabel Wajib Pertidaksamaan Rasional Dan Irasional Satu Elastis Sistem Persamaan Linear Tiga Plastis Sistem Pertidaksamaan Dua Variabel Sistem Paralelisme Linier Dua Variabel Sistem Pertidaksamaan Linier Dua Elastis Grafik, Persamaan, Dan Pertidaksamaan Eksponen Dan Logaritma 9 SMP Transfigurasi Geometri Kesebangunan dan Kongruensi Bangun Ruang Sisi Lekuk Bilangan Berlenggek Dan Bentuk Akar Kemiripan Kuadrat Fungsi Kuadrat 8 SMP Teorema Phytagoras Lingkaran Garis Sentuh Dok Bangun Ruang Sisi Datar Peluang Paradigma Bilangan Dan Barisan Bilangan Koordinat Cartesius Relasi Dan Fungsi Kemiripan Garis Lurus Sistem Persamaan Linear Dua Variabel Spldv 7 SMP Nisbah Aritmetika Sosial Aplikasi Aljabar Sudut dan Garis Setimpal Segi Catur Segitiga Statistika Bilangan Buntar Dan Pecahan Himpunan Gerakan Dan Faktorisasi Bagan Aljabar Persamaan Dan Pertidaksamaan Linear Suatu Variabel 6 SD Bangun Ruang Statistika 6 Sistem Koordinat Bilangan Bulat Lingkaran 5 SD Siuman Urat kayu Pengumpulan dan Presentasi Data Operasi Predestinasi Rekahan Kepantasan Dan Volume Perbandingan Perpangkatan Dan Akar tunjang 4 SD Aproksimasi / Pembulatan Bangun Menjemukan Statistika Pengukuran Sudut Predestinasi Romawi Pecahan KPK Dan FPB 12 SMA Teori Relativitas Khas Konsep dan Fenomena Kuantum Teknologi Digital Nukleus Perigi-Sumber Energi Gabungan Arus Searah Listrik Statis Elektrostatika Medan Besi sembrani Induksi Elektromagnetik Rangkaian Arus Bolak Balik Radiasi Elektromagnetik 11 SMA Hukum Termodinamika Ciri-Ciri Gelombang Mekanik Gelombang Bepergian dan Gelombang listrik Stasioner Gelombang Bunyi Gelombang elektronik Terang Alat-Alat Optik Gejala Pemanasan Global Alternatif Solusi Keadilan Dan Dinamika Rotasi Elastisitas Dan Syariat Hooke Zalir Statik Fluida Dinamik Suhu, Panas api Dan Hijrah Hangat api Teori Kinetik Gas 10 SMA Syariat Newton Hukum Newton Tentang Gravitasi Usaha Kerja Dan Energi Pejaka dan Impuls Getaran Harmonis Hakikat Fisika Dan Prosedur Ilmiah Pengukuran Vektor Gerak Lurus Gerak Parabola Gerak Melingkar 9 SMP Kelistrikan, Kemagnetan dan Pemanfaatannya dalam Produk Teknologi Dagangan Teknologi Aturan Bahan Kelistrikan Dan Teknologi Listrik Di Lingkungan 8 SMP Tekanan Cahaya Renyut dan Gelombang listrik Gerak Dan Gaya Pesawat Tersisa 7 SMP Penyelenggaraan Syamsu Objek Ilmu Mualamat Alam Dan Pengamatannya Zat Dan Karakteristiknya Suhu Dan Kalor Energi Fisika Ilmu permukaan bumi 12 SMA Struktur, Tata Label, Sifat, Isomer, Identifikasi, dan Kegunaan Senyawa Benzena dan Turunannya Struktur, Penyelenggaraan Nama, Resan, Penggunaan, dan Pengelompokan Makromolekul Sifat Koligatif Larutan Reaksi Redoks Dan Bui Elektrokimia Kimia Unsur 11 SMA Bersut dan Basa Kesetimbangan Ion dan pH Larutan Garam Larutan Penyangga Titrasi Kesetimbangan Larutan Ksp Sistem Koloid Ilmu pisah Terapan Senyawa Hidrokarbon Patra Bumi Termokimia Laju Reaksi Kesetimbangan Kimia Dan Pergeseran Kesetimbangan 10 SMA Larutan Elektrolit dan Larutan Non-Elektrolit Reaksi Reduksi dan Oksidasi serta Tata nama Senyawa Syariat-Hukum Dasar Kimia dan Stoikiometri Metode Ilmiah, Hakikat Aji-aji Kimia, Keselamatan dan Keamanan Kimia di Laboratorium, serta Peran Kimia dalam Kehidupan Struktur Atom Dan Tabel Periodik Ikatan Kimia, Rencana Molekul, Dan Interaksi Antarmolekul Source PembahasanSuatu titik pada fungsi disebut titik balik minimumjika . Diketahui fungsi . Turunan pertama dan kedua dari fungsi tersebut dapat ditentukan sebagai berikut. Syarat mempunyai titik stasioner adalah , maka Untuk , maka Untuk , maka Perhatikan bahwa untuk diperoleh sehingga merupakan nilai balik minimum dari fungsi . Dengan demikian, koordinat titik balik minimum grafik fungsi adalah .Suatu titik pada fungsi disebut titik balik minimum jika . Diketahui fungsi . Turunan pertama dan kedua dari fungsi tersebut dapat ditentukan sebagai berikut. Syarat mempunyai titik stasioner adalah , maka Untuk , maka Untuk , maka Perhatikan bahwa untuk diperoleh sehingga merupakan nilai balik minimum dari fungsi . Dengan demikian, koordinat titik balik minimum grafik fungsi adalah .

cara menentukan titik balik maksimum dan minimum